而ΔΦ=xΔx(上限)∫x(下限)f(t)dt=f(ξ)Δx(ξ在x与xΔx之间，可由定积分中的中值定理推得，当Δx趋向于0也就是ΔΦ趋向于0时，ξ趋向于x，f(ξ)趋向于f(x)，故有limΔx→0ΔΦ/Δx=f(x)
可见这也是导数的定义,所以最后得出Φ'(x)=f(x)。
2、b(上限)∫a(下限)f(x)dx=f(b)-f(a)，f(x)是f(x)的原函数。
证明:我们已证得Φ'(x)=f(x)，故Φ(x)c=f(x)
但Φ(a)=0(积分区间变为[a,a]，故面积为0)，所以f(a)=c
于是有Φ(x)f(a)=f(x)，当x=b时，Φ(b)=f(b)-f(a),
而Φ(b)=b(上限)∫a(下限)f(t)dt，所以b(上限)∫a(下限)f(t)dt=f(b)-f(a)
把t再写成x，就变成了开头的公式，该公式就是牛顿-莱布尼茨公式。
高阶导数莱布尼兹公式
(uv)^(n)=∑(n，k=0)c(k,n)*u^(n-k)*v^(k)
注:c(k,n)=n!/(k!(n-k)!)^代表后面括号及其中内容为上标，求xx阶导数
格林公式
基本介绍：在平面区域上的二重积分也可以通过沿区域的边界曲线上的曲线积分来表示。
详细介绍
折叠单连通区域的概念：设d为平面区域,如果d内任一闭曲线所围的部分区域都属于d,则d称为平面单连通区域;否则称为复连通区域。通俗地讲,单连通区域是不含”洞”(包括”点洞”)与”裂缝”的区域。
折叠区域的边界曲线的正向规定：设是平面区域的边界曲线,规定的正向为:当观察者沿的这个方向行走时,平面区域(也就是上面的d)内位于他附近的那一部分总在他的左边。简言之:区域的边界曲线的正向应符合条件:人沿曲线走,区域在左边，人走的方向就是曲线的正向。
折叠格林公式：【定理】设闭区域由分段光滑的曲线围成,函数及在上具有一阶连续偏导数,则有
(1)∮cp(x,y)dxq(x,y)dy=∫∫d(dq/dx-dp/dy)dxdy
其中是的取正向的边界曲线.